Grupo: Título del recurso
Priorización 2023-2025: Aprendizajes Basales
MA1M OA 04
Resolver sistemas de ecuaciones lineales (2x2) relacionados con problemas de la vida diaria y de otras asignaturas, mediante representaciones gráficas y simbólicas, de manera manual y/o con software educativo.
Clasificaciones
Textos Escolares oficiales 2023
Actividades de apoyo pedagógico
Material didáctico
Unidad 2
Unidad 2
Indicadores
Indicadores unidad 2
- Verifican que una sola ecuación en dos variables ax + by = c (con a, b, c fijo) a, b, c ? Q tiene como solución infinitos pares ordenados (x, y) de números.
- Transforman ecuaciones de la forma ax + by = c a la forma y = - ab ? x + cb reconociendo la función afín.
- Representan sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones, de manera concreta (balanzas), pictórica (gráficos) o simbólica.
- Elaboran los gráficos de un sistema de la forma:
- ax + by = c
- dx + ey = f
- Resuelven sistemas de ecuaciones lineales utilizando métodos algebraicos de resolución, como eliminación por igualación, sustitución y adición.
- Modelan situaciones de la vida diaria y de ciencias, con sistemas 2 x 2 de ecuaciones lineales.
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Preguntas
Sistema de ecuaciones lineales 2
Enunciado
La suma de las tres cifras distintas que componen un número es $14$. La cifra de las decenas es igual a la mitad de la cifra de las unidades, mientras que la cifra de las centenas más la cifra de las decenas, es $10$. ¿Cuál es el número?
Alternativas
A) $284$
B) $482$
C) $734$
D) $824$
Respuesta
D)
Digamos que este número de $3$ cifras distintas es $CDU$, donde $C$ corresponde a la cifra de las centenas, $D$ a la cifra de las decenas y $U$ a la cifra de las unidades. Sabemos que la suma de las tres cifras es $14$; por lo tanto:
$C+D+U=14$
Por otra parte, sabemos que la cifra de la decena es la mitad de la cifra de la unidad.
$D=\dfrac{U}{2}\Longrightarrow C=2D$
Por último:
$C+D=10\Longrightarrow C=10-D$
Ahora tenemos todas las variables escritas en función de $D$, reescribimos la primera ecuación:
$C+D+U=(10-D)+D+(2D)=14\Longrightarrow D=2$
Reemplazamos $D=2$, en las otras ecuaciones obtenemos que $C=8$ y $U=4$; por lo tanto, el número es $824$.
Modelación de situaciones con funciones
Enunciado
Un recipiente que contiene 1 000 litros de aceite pierde constantemente 2 litros por minuto debido a un agujero. Al mismo tiempo, el recipiente es llenado de manera permanente a razón de 5 litros por hora. ¿Cuál de las siguientes expresiones modela la cantidad de litros L en el recipiente, en función del tiempo t medido en minutos?
Alternativas
A) L(t) = 1 000 - $\dfrac{47}{12}$t
B) L(t) = 1 000 - $\dfrac{23}{12}$t
C) L(t) = 1 000 + 3t
D) L(t) = 1 000 - 3t
Respuesta
B
En un principio, el recipiente contiene 1 000 litros de aceite; según la información entregada, sabemos que:
- Pierde 2 litros por cada minuto que pasa.
- Se agrean 5 litros cada 60 minutos por lo tanto por minuto se agregan $\dfrac{5}{60}$ litros.
La expresión que permite calcular la cantidad de litros L dentro del recipiente, en función de cada minuto que pasa desde que se abrió el agujero, es:
L(t) = 1 000 - 2t + $\dfrac{5}{60}$
L(t) = 1 000 - $\dfrac{120}{60}$t + $\dfrac{5}{60}$t
L(t) = 1 000 - $\dfrac{115}{60}$t
L(t) = 1 000 - $\dfrac{23}{12}$t
DESAFíO: Sistema de ecuaciones lineales
Enunciado
En un restaurante el $75$$\%$ de las mesas para $4$ personas están completas y el $100$$\%$ de las mesas para $3$ personas están también completas. Si el restaurante no tiene mesas para otra cantidad de personas y hay un total de $84$ personas, ¿cuántas mesas tiene en total?
Alternativas
A) $24$ mesas
B) $25$ mesas
C) $26$ mesas
D) $28$ mesas
Respuesta
D
Designemos con las letras x e y a la cantidad de mesas para 4 y 3 personas respectivamente.
Cabe notar que se tiene una ecuación con dos incógnitas pero trabajando algebraicamente esta ecuación podemos encontrar el valor de $x+y$ que corresponde al total de mesas en el restaurante.
Debemos plantear la siguiente ecuación:
84 = 4$\cdot$ 0 75$\%$ x + 3$\cdot$ 100$\%\cdot$ y = 4$\cdot\dfrac{75}{100}$x + 3$\cdot\dfrac{100}{100}$y
=$\dfrac{300}{100}$x + $\dfrac{300}{100}$y = 3x + 3y
x + y = $\dfrac{84}{3}$ = 28
Sistemas 2 x 2 de ecuaciones lineales
Enunciado
Javier, Juan y Gloria son tres hermanos. Javier es seis años menor que Gloria, mientras que Juan es dos años mayor que ella. Si las edades de Juan y Javier suman $26$ años, ¿cuál es la edad de Javier, Juan y Gloria, respectivamente?
Alternativas
A) $7$, $19$ y $17$ años.
B) $10$, $16$ y $14$ años.
C) $11$, $16$ y $14$ años.
D) $9$, $17$ y $15$ años.
Respuesta
D)
Del enunciado se desprende:
$\text{Javier es seis años menor que la hermana}$
$\text{Juan es dos años mayor que esta misma}.$
Además, las edades de Juan y Javier suman $26$ años.
Reescribiendo lo anterior y considerando:
$x=\text{Edad de Javier} $
$y=\text{Edad de Juan}$
$z=\text{Edad de la hermana de ambos}$
$x+6=z$
$y-2=z$
$x+y=26$
Por lo tanto:
$x+6=y-2$
$x-y=-8$
Se tiene:
$x+y=26$
$x-y=-8$
Resolviendo como sistema de ecuaciones con la utilización del metodo de reducción:
$2x=18$
$x=9$
Sustituyendo $x$ en una de las ecuaciones se obtiene $y=17$
Nuevamente, sustituyendo $x$ o $y$ en $x+6=z$ o $y-2=z$
se obtiene $z=15$.
Finalmente, se tiene que las edades de Javier, Juan y la hermana de ambos son: $9$, $17$ y $15$ años, respectivamente.
Solución infinita
Enunciado
Un sistema de ecuaciones lineales se puede representar gráficamente con dos rectas paralelas coincidentes, dos secantes o dos paralelas. Con respecto a la solución de cada una de estas situaciones, ¿qué podemos afirmar de este par de rectas?
I. Las rectas paralelas coincidentes poseen soluciones infinitas.
II. Las rectas secantes generan una única solución.
III. Las rectas paralelas no poseen solución.
Alternativas
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo I y III
D) I, II y III
Respuesta
D)
Cuando resolvemos un sistema de ecuaciones lineales, lo que calculamos es la intersección de dos rectas. Veamos cada afirmación:
I. Paralelas coincidentes generan soluciones infinitas. Esto se debe a que la intersección entre ambas rectas es infinita, es decir, existen infinitos puntos de intersección.
II. Rectas secantes generan una única solución. Esto de debe a que dos rectas secantes tienen un solo punto de intersección, es decir, tienen una única solución.
III. Rectas paralelas no generan solución alguna. Esto se debe a que las rectas paralelas nunca se intersectan, por lo tanto, no existe punto solución.
Sistema de ecuaciones lineales 4
Enunciado
Dado el sistema de ecuaciones: $\begin{array}{c|} 3x+py=1\\ 9x+6y=3\\ \hline \end{array}$, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. Si p = 2, entonces el sistema no tiene solución.
II. Si p = - 2, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.
III. Si p = 0, entonces el sistema tiene una única solución.
Alternativas
A) Solo I
B) Sólo III
C) Solo I y II
D) I, II y III
Respuesta
B)
Veamos qué ocurre en cada caso:
- I. Si p = 2, entonces tendriamos el siguiente sistema:
$\begin{array}{c|} 3x+2y=1\\ 9x+6y=3\\ \hline \end{array}$
Multiplicando la primera ecuación por 3 obtenemos la misma ecuación dos veces; por lo tanto, el sistema tendría infinitas soluciones.
- II. Si p= -2, entonces tendríamos el siguiente sistema:
$\begin{array}{c|} 3x-2y=1\\ 9x+6y=3\\ \hline \end{array}$
Multiplicando la primera ecuación por 3 obtenemos dos ecuaciones distintas que no son paralelas (porque la razón entre cada coeficiente correspondiente no son iguales); por lo tanto, el sistema tiene una sola solución.
- III. Si p = 0, entonces tendríamos el siguiente sistema:
$\begin{array}{c|} 3x=1\\ 9x+6y=3\\ \hline \end{array}$
Obtenemos evidentemente dos ecuaciones distintas que no son paraletas (porque la razón entre cada coeficiente correspondiente no son iguales); por lo tanto, el sistema tiene una sola solución.
Concluimos que la alternativa correcta es solo III.
Sistema de ecuaciones lineales 3
Enunciado
Dado el siguiente sistema de ecuaciones:
$\begin{array}{c|} x + y = 5 \\ y - x = 3 \\ \hline \end{array}$
Entonces, $y^2-x^2=$
Alternativas
A) $5$
B) $-15$
C) $0$
D) $15$
Respuesta
D
Una forma de resolver este ejercicio es multiplicando ambas ecuaciones. Con este método llegarás rápido a lo que se pregunta:
$(y+x)(y-x)=15 \Longrightarrow y^2-x^2=15$